Richardson-Lucy Deconvolution
RL反卷积都干了些啥
RL反卷积是通过迭代的方法来优化损失函数，利用噪声性质和成像系统的点分布函数(Point Spread Function)对图像进行去噪的一种方法。 损失函数是啥样的呢？
$$ J(O) = \Sigma(O**PSF - I \cdot ln(O ** PSF)) $$
且有：
- $J$，损失函数，为最小化的目标
- $O(x,y)$，不受椒盐噪声和点分布函数模糊效应影响的理想原始图像
- $PSF(x,y)$，Point Spread Function，点分布函数
- $I(x,y)$，实际拍摄到的图像
- $**$，二维卷积
- $\cdot$，按元素相乘
既然要优化$J(O)$，那么就对O求导：
$$ \nabla J = [1 - \frac{I}{O**PSF}] ** PSF^{T} $$
利用迭代法，就可以使代价函数最小，如下：
$$ O_{k+1} = O_{k} - \alpha \cdot \nabla J $$
简化可得：
$$ O_{k+1} = O_{k} \cdot [\frac{I}{O_{k} ** PSF} ** PSF^{T}] $$
按照这个迭代式，一般RL反卷积算法迭代个十几次就差不多了。
但是!
为什么要这么干呢？代价函数是怎么来的呢？ 这和光学设备的成像的噪声性质有关系。
数码噪点的泊松分布
由于光线具有波粒二象性，在进行数字成像时，在像素点上的光子数量在概率上呈泊松分布。
对于某个像素点而言，曝光时的光电子数量$i$满足泊松分布：
$$ p(i) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda ^{i}}{i!} $$
其中，$p(i)$表示像素接收到i个光电子的概率，而$\lambda$表示像素接收到的光电子数量的期望值（平均值）。
问题的转化：极大似然估计
考虑整个图像的联合概率为每个像素的概率的乘积：
$$ P(I) = \prod e^{-\Lambda} \cdot \frac{\Lambda^{I}}{I!} $$
且有：
- $P(I)$：整个图像每个像素的联合概率
- $I$：实际拍摄到的图像数据，包含噪声，M行N列
- $\Lambda$：无泊松噪声的理想图像数据，M行N列
那么很自然的，才用极大似然估计，对上式取对数，化乘为加：
$$ ln(P(I)) = - \Sigma (\Lambda - I \cdot ln(\Lambda) + ln(I!)) $$
其中，$ln(I！)$是常数项，而对于$\Lambda$，有：
$$ \Lambda = O ** PSF $$
去掉到最大似然估计函数前面的负号以及常数项，代入上式就可以得到最小化目标的损失函数：
$$ J(O) = \Sigma(O**PSF - I \cdot ln(O ** PSF)) $$
小结
最大似然估计大法好。一些机器学习方法里面的贝叶斯方法也用到了最大似然估计来求参，真是有种触类旁通的感觉呢。