离散化方法的笔记 最近看论文中发现，分析系统的稳定性问题总免不了在s域先分析一下，然后再在z域上分析一下。可是很多论文对于离散化方法却略去不提，直接给出推导出的结果。所以笔者就寻找总结了一下各种离散化方法，总结一下。学通信或者测量的同学，专门学过数字信号处理的话，应该很熟悉的。 1. 后向差分 后向差分的映射关系为： $$ s \leftarrow \frac{z-1}{Tz} $$ 从s平面到z平面上来看的话，这实际上是将s平面的左半平面映射到z平面的以(0.5,0)为圆心，半径为0.5的圆中。所以原来稳定的系统，经过后向差分之后，一定是稳定的，因为该圆在单位圆内；而原来不稳定的系统，有可能被映射到单位圆中，即可能存在原来不稳定的系统经过后向差分离散化之后，是稳定的。 参考文献中有s平面映射到z平面的图，方便理解，有需要的同学可以查看。 2. 前向差分 前向差分的映射关系为： $$ s \leftarrow \frac{z-1}{T} $$ 从s平面到z平面上来看，其实是将左半平面映射到了z平面上直线 $z=1$ 的左边平面上。所以原来在s域上稳定的系统经过前向差分之后的离散系统可能是不稳定的。 3. Tustin Method(双线性变换方法：Bilinear Transform) 双线性变换方法的映射关系为：……

系统截止频率对应的相角与-180°相差的度数成为相角裕度，为何？ 因为所谓相角裕度与增益裕度都是基于频域的控制系统稳定性指标。倘若系统的开环传递函数的截止频率相移为-180°，那么由于负反馈对于正弦波自带180°的相位滞后，那么对于系统而言就相当于正反馈，则系统将处于自激振荡状态。举个简单的例子，前向通道和反馈通道分别为积分环节: fw = tf(1, [1, 0]); fd = fw ; sys = feedback(fw, fd); impulse(sys) 可以看到，系统的脉冲响应是周期为6.28的正弦波，即当存在轻微扰动时，系统就会进入自激振荡状态（因为系统临界稳定）；而当系统的输入为0的时候，是输出也为0， 这可以理解为系统无能量输入，所以系统也就不会输出响应。想起模电中运用正反馈构成自激振荡电路的原理，实际工作环境中存在着能量的传播，所以自激振荡电路总能产生振荡的正弦波。理解这一点，对数稳定判据以及奈奎斯特稳定判据就很好理解了。 考虑下图显示的典型的反馈控制系统框图，如果将反馈处切开，那么从给定（Setpoint）到反馈的传递函数实际上就是自控概念中的开环传递函数了。 对于正弦信号而言，开环传递函数的幅频特性实际上反映的是反馈回来的信号的放大倍数（也可能是缩小）和相角延迟，这个和系统的稳定性有着密切的关系。如果反馈回来的信号为-180°，并且增益也比较大（大于等于1），那么系统就自然不会稳定。然而在实际系统中，由于功率（能量）的限制，噪声的影响，自激振荡这种状态就很好解释了。 毕竟开环传递函数研究的是反馈相当于系统给定的性质，把握了这句话，电工出身的人所说的环路增益研究系统稳定性就很好理解了。:)……